数字的历史与数字的世界，可数的有理数和不可数的无理数

王坚博士，芝加哥教授学者协会会长

目前已知最早的位值制数字系统，是5100年前的巴比伦数字，采用六十进制。其他的文明古国，古罗马混合采用五进制和十进制，对应着先用单手数数，再用双手数数。古埃及采用十进制，对应着用双手数数，玛雅人采用二十进制，对应着手脚并用数数。中外的实际数字运算操作，包括中国古代的算筹、后来的算盘，以及古罗马的槽式算盘，都混合采用五进制和十进制，对应先用单手数数，再用双手数数。

中国商朝时期，就有十进制数字的记录，商代甲骨文有一至九、十、百、千、万共13个数字符号。在中国远古的易经中出现二进制的雏形。莱布尼茨受到易经中的二进制的影响，完善了二进制。但是易经中的八卦，还不能比较大小。中国古代还流行初步的三进制。三的话，是上、中、下。九的话，就分解为三组：上上，上中，上下；中上，中中，中下；下上，下中，下下。上、中、下三进制，可以很好地比较大小，但还不能做加法。

古希腊、古埃及、古代中国，都没有数字零。“一百零八条好汉”是清朝以后才有的说法，清朝以前是“一百八条好汉”。0这个数字是在5世纪由古印度人发明，后来被阿拉伯人传播开来。

在数论中，0不是自然数，自然数是正整数。人类最早使用的数字，是自然数，也就是正整数。著名数学家皮亚诺关于自然数的五条公理，以0为起点，就很不自然，是用很晚出现的0来定义最早出现的自然数。

数论将自然数的起点定为1，然后每个数的下一个数是本数加上1，就在定义自然数的同时，也定义了加法运算。比如5+1=5的下一个数=6，5+2=5+1+1=6+1=6的下一个数=7。

自然数对应着人们数数的行动，比如3 + 4 = 7，就是先数3次，停顿一下，再数4次，等于连续数7次。而数数，是每次加1，对应着加法。

有了加法之后，人们会提出这样的问题：什么数加3等于7？于是就有加法的逆运算，也就是减法：7-3=4。

有了减法之后，为了每个减法运算都有结果，就需要引进零和负数：3-3=0，3-4=-1。也就是讲，零和负数，是在减法运算中产生的。

重复地加一个数字，这样的运算被称为乘法，比如重复加4，共加3次，就是3 X 4 = 12。

有了乘法之后，人们会提出这样的问题，什么数乘以4等于12？于是就有乘法的逆运算，也就是除法：12 ÷4 = 3。

有了除法之后，为了每个除法运算都有结果，就要引进分数：3 ÷4 = 3/4，分数也被称为是有理数。如果是除以0，就需要引进无穷大。

同一个数字的重复乘法是乘方，包括平方，立方等。

有平方之后，人们会提出这样的问题，什么数的平方等于2？于是就有平方的逆运算，也就是开平方：2的平方根=1.41421356237…，是一个无限不循环的小数，而不是分数，被称为无理数。

有了开平方之后，为了每个开平方运算都有结果，就需要引进无理数，也就是无限不循环小数。

如果是求负数的平方根，就需要引入虚数。虚数在物理、工程中有广泛的应用。

自然数、有理数都是可数的，可以一个、一个地数下去。自然数大家都会数。正的有理数，则是先数1个以1为分母的分数，再数2个以2为分母的分数，再数3个以3为分母的分数，依次类推（去掉重复计数的数字）。

有人会讲，这样数有理数的话，会显得有理数比自然数多。但是自然数也可以这样数：先数10个小于10的数，再数90个小于100的数，再数900个小于1000的数，依次类推，就显得自然数比有理数多。数学上，认为自然数和正有理数一样多，也就是整数和分数一样多。

无理数，则是多得没法数，这样无理数就比有理数更多。